一、利用導數求瞬時(shí)值

某物理量A定義為A=△y/△x，

比如：速度v=△x/△t，加速度a=△v/△t，角速度ω=△θ/△t，電場(chǎng)強度E=-△Φ/△x，感應電動(dòng)勢E=N△Φ/△t等等，凡是結構是A=△y/△x這種類(lèi)型的，我們都可以采用類(lèi)比的方法.

物理量A=△y/△x，若△x不趨近零時(shí)，是一個(gè)過(guò)程的平均值，反映在圖像上就是割線(xiàn)斜率；

物理量A=△y/△x，若△x→0，A的值為某時(shí)刻或某點(diǎn)的瞬時(shí)值，也就是△x→0的極限，

反映在圖像上就是切線(xiàn)的斜率.

①導數在運動(dòng)學(xué)上的運用

示例1：某質(zhì)點(diǎn)運動(dòng)過(guò)程中位移x(單位m)和時(shí)間t(單位s)滿(mǎn)足表達式，x=5t3 3t2 4t 2(m)，求：

①1s—3s內的平均速度

②2s時(shí)的瞬時(shí)速度

③2s時(shí)的加速度

【解析】

①1s—3s內的平均速度是割線(xiàn)斜率，

t=1s時(shí)，x=14m；

t=3s時(shí)，x=176m；

△x=162m；

1s—3s內的平均速度為81m/s.

②2s時(shí)的瞬時(shí)速度是切線(xiàn)斜率，瞬時(shí)速度的表達式就是位移對時(shí)間的導數，求得：

v=15t2 6t 4(m/s)

當t=2s時(shí)，v=76m/s.

③瞬時(shí)加速度的表達式就是速度對時(shí)間的導數，就是v-t圖的斜率，也就是x-t函數對時(shí)間t的二階導數.

求導得：a=30t 6(m/s2)

t=2s時(shí)，a=66m/s2.

②導數在感應電動(dòng)勢上的運用

示例2：如圖所示，兩根平行足夠長(cháng)的金屬導軌固定在水平桌面上，導軌的端點(diǎn)P和Q用導線(xiàn)相連，兩導軌間的距離為L(cháng)，磁場(chǎng)垂直于桌面向上，已知磁感強度B與時(shí)間的關(guān)系為B＝kt（k為大于零的常量）.在t＝0時(shí)刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿從t＝0時(shí)刻開(kāi)始以恒定的加速度a從靜止開(kāi)始向導軌的另一端滑動(dòng)，求在t時(shí)刻整個(gè)回路的感應電動(dòng)勢大小.

這是感生和動(dòng)生共存的情況，可以用法拉第電磁感應普適公式，E=n△Φ/△t，瞬時(shí)電動(dòng)勢，就是求Φ(t)函數的導數.

Φ=BS=BLvt=ktL·?at2

E=kL·?at2 ktL·at=3kLat2/2.

例題：如圖所示，KLMN是一個(gè)豎直的矩形導線(xiàn)框，全部處于磁感應強度為B的水平方向的勻強磁場(chǎng)中，線(xiàn)框面積為S，MN邊水平，線(xiàn)框繞某豎直固定軸以角速度ω勻速轉動(dòng)。在MN邊與磁場(chǎng)方向的夾角到達30°的時(shí)刻（圖示位置），導線(xiàn)框中產(chǎn)生的瞬間電動(dòng)勢e的大小是多少？標出線(xiàn)框此時(shí)電流的方向。已知線(xiàn)框按俯視的逆時(shí)針?lè )较蜣D動(dòng)。

【解析】從平行面開(kāi)始計時(shí)的磁通量表達式為Φ=BSsinθ，t=0的初相位為π/6.

磁通量表達式應該修改為Φ=BSsin(θ π/6)，而θ=ωt，

Φ=BSsin(ωt π/6)

E=n△Φ/△t，求瞬時(shí)表達式，即求導數，

E=nBSωcos(ωt π/6)[t=0,n=1]

E=√3BSω/2

電流方向根據楞次定律判斷.

例題：紙面內兩個(gè)半徑均為R的圓相切于O點(diǎn)，兩圓形區域內分別存在垂直于紙面的勻強磁場(chǎng)，磁感應強度大小相等、方向相反，且不隨時(shí)間變化。一長(cháng)為2R的導體桿OA繞過(guò)O點(diǎn)且垂直于紙面的軸順時(shí)針勻速旋轉，角速度為ω。t＝0時(shí)，OA恰好位于兩圓的公切線(xiàn)上，如圖所示。若選取從O指向A的電動(dòng)勢為正，下列描述導體桿中感應電動(dòng)勢隨時(shí)間變化的圖像可能正確的是（C）

【解析】

Φ=BS=B·θR2-?BR2sin2θ

=BR2(ωt-?sin2ωt)

Φ′(t)=BR2(ω-ωcos2ωt)

=2BR2ωsin2ωt.

E=nΦ′(t)=2BR2ωsin2ωt.

也可以用切割磁感線(xiàn)方法

③導數在電勢分布于某直線(xiàn)上的應用

示例3：某靜電場(chǎng)中的一條電場(chǎng)線(xiàn)與x軸重合，其電勢的變化規律如圖所示，在O點(diǎn)由靜止釋放一電子，電子僅受電場(chǎng)力的作用，則在-x?～x?區間內（BC）

A.該靜電場(chǎng)是勻強電場(chǎng)

B.該靜電場(chǎng)是非勻強電場(chǎng)

C.電子將沿x軸正方向運動(dòng)，加速度逐漸減小

D.電子將沿x軸正方向運動(dòng)，加速度逐漸增大

【解析】

值得注意的是電場(chǎng)強度E=-△Φ/△x有個(gè)負號；斜率為正，表示電場(chǎng)方向沿x負方向.

④導數在關(guān)聯(lián)加速度上的應用示例4：在一光滑水平面上放一個(gè)物體，人通過(guò)細繩跨過(guò)高處的定滑輪拉物體，使物體在水平面上運動(dòng)，人以速度v?，加速度a?向左運動(dòng).當繩子與水平方向成θ角時(shí)，物體前進(jìn)的瞬時(shí)速度v是多大和加速度a是多大？

【解析】

由速度關(guān)系，可以進(jìn)而求出加速度之間的關(guān)系，不再同一直線(xiàn)上運動(dòng)(涉及轉動(dòng))的兩物體，加速度關(guān)系不能類(lèi)似于速度那樣的關(guān)系(a?=a·cosθ).

v?=v·cosθ，v=v?/cosθ，(θ也會(huì )隨時(shí)間而變化，這是一個(gè)復合函數)

a=dv/dt

也可以用加速度合成法求解.

⑤導數在電磁感應與電容器結合的應用

示例5：如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L(cháng)。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場(chǎng)中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質(zhì)量為的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過(guò)程中保持與導軌垂直并接觸良好。已知金屬棒與導軌之間的動(dòng)摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開(kāi)始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

Q=CBLv

（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系.

二、利用導數求極值與單調性

示例：一木箱重為G，與地面間的動(dòng)摩擦因數為μ，用斜向上的力F拉木箱，使之沿水平地面勻速前進(jìn)，如圖所示.問(wèn)角α為何值時(shí)拉力F最??？這個(gè)最小值為多大？

【解析】

受力分析

求cosα μsinα的最大值

利用導數得：

f′(α)=-sinα μcosα=0

α=arctanμ

把α代入即可求得F的最小值.

例題：如圖所示，相距2r的兩個(gè)等量同種正電上場(chǎng)強的最大值及位置.

【解析】

即求cos2θsinθ的最大值

令f(θ)=cos2θsinθ

在連續可導情況下

f(θ)=cos3θ-2sin2θcosθ=0

cos2θ=2sin2θ

tanθ=√2/2θ=arctan(√2/2)

θ≈35.26°

示例：如圖所示，滑塊a和b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，b放在地面上，a和b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接，輕桿的長(cháng)度為L(cháng).輕桿初始在豎直方向，滑塊a受到擾動(dòng)由靜止開(kāi)始運動(dòng)，不計一切摩擦，a和b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g.在a下落的過(guò)程中，(BD)

并且分析a的速度如何變化，求解b的速度的最大值.

由系統機械能守恒得：

Va′(θ)=2sinθcos(1-cosθ) sin3θ

此導函數的值大于零，則Va（θ）為增函數，即Va一直在增大.

Vb′(θ)=sinθcosθ(3cosθ-2)

此導函數有零點(diǎn)，且V′(θ)先大于零，后小于零，Vb先增后減.

當Vb′(θ)=0時(shí)，Vb具有最大值

sinθcosθ(3cosθ-2)=0

cosθ=2/3代入Vb得：

一般性解法：

Vacosθ=Vbsinθ

當θ=90°時(shí)，cosθ=0，Vb=0

b的速度從0到0，b的速度先增后減，桿子對b先做正功，后做負功，根據數學(xué)零點(diǎn)定理，必定有某點(diǎn)不做功，b的速度在該點(diǎn)速度有最大值，此時(shí)桿子的力F?=0，a的機械能最小，b的機械能最大，a的加速度為g，b的加速度為0，b對地面壓力為mg，此后a的加速度大于g，θ在增加，Va=Vbtanθ，在Vb增大的過(guò)程中，Va也在增大，在b減速過(guò)程中，桿子對b做負功，對a就做正功，a仍然加速，所以a一直在加速.

示例：在純電阻電路中，輸出功率和外電阻關(guān)系，當在電阻多大時(shí)，電源輸出功率最大.

只需求R r2/R的增減性

令f(R)=R r2/R

對R求導得：f′(R)=1-r2·R?2

當f′(R)=1-r2·R?2=0時(shí)，

R＜r時(shí)，f′(R)＜0，f(R)為減函數，輸出功率函數為增函數，R＞r時(shí)，f′(R)＞0，f(R)為增函數，輸出功率函數為減函數，當R=r時(shí)，f′(R)=0，輸出功率最大.

三、利用導數求變化率

例題：下圖為一種早期發(fā)電機原理示意圖，該發(fā)電機由固定的圓形線(xiàn)圈和一對用鐵芯連接的圓柱形磁鐵構成，兩磁極相對于線(xiàn)圈平面對稱(chēng)。在磁極繞轉軸勻速轉動(dòng)過(guò)程中，磁極中心在線(xiàn)圈平面上的投影沿圓弧XOY運動(dòng)（O是線(xiàn)圈中心），則（D）

A.從X到O，電流由E經(jīng)G流向F，先增大再減小

B.從X到O，電流由F經(jīng)G流向E，先減小再增大

C.從O到Y，電流由F經(jīng)G流向E，先減小再增大

D.從O到Y，電流由E經(jīng)G流向F，先增大再減小

【解析】

磁極中心經(jīng)過(guò)O點(diǎn)正上方時(shí)，磁通量最大，在連續可導情況下，磁通量對時(shí)間的一階導數，也就是磁通量變化率為零，即感應電動(dòng)勢為零.

例題：如圖所示，AOC是光滑的直角金屬導軌，AO沿豎直方向，OC沿水平方向，ab是一根靠立在導軌上（開(kāi)始時(shí)b離O點(diǎn)很近）的金屬直棒，金屬直棒從靜止開(kāi)始在重力作用下運動(dòng)，運動(dòng)過(guò)程中a端始終在A(yíng)O上，b端始終在OC上.直到ab完全落在OC上，整個(gè)裝置放在一勻強磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，則ab棒在運動(dòng)過(guò)程中（BD）

A.感應電流方向始終是b→a

B.感應電流方向先是b→a，后變?yōu)閍→b

C.所受磁場(chǎng)力方向垂直于ab向上

D.所受磁場(chǎng)力方向先垂直于ab向下，后垂直于ab向上

【拓展】

感應電流什么位置最??？

【解析】

x=Lsinθ，y=Lcosθ，S=xy/2

=?L2sinθcosθ=L2sin2θ/4

Φ=BS=BL2sin2θ/4

Φ′(θ)=BL2cos2θ/2

當Φ′(θ)=BL2cos2θ/2=0時(shí)，即θ=π/4時(shí)，E有最小值.

例題：質(zhì)量為m的球從地面以初速度v?豎直向上拋出，已知球所受的空氣阻力與速度大小成正比.下列圖象分別描述了球在空中運動(dòng)的加速度a、速度v隨時(shí)間t的變化關(guān)系和動(dòng)能Ek、機械能E（選地面處重力勢能為零）隨球距離地面高度h的變化關(guān)系，其中可能正確的是（C）

值得注意的是電阻的定義是R=U/I而不是△U/△I，因此不能用求導的方法求電阻.

附錄：

1.零點(diǎn)定理

如果函數y= f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線(xiàn)，并且有f(a)·f(b)