正方形是特殊的平行四邊形，它既屬于矩形又屬于菱形，所以它具備矩形和菱形所有的性質(zhì)，這因為如此，在證明正方形時(shí)方法靈活多樣，題目變化多端。

一、基本知識

判定一個(gè)圖形是正方形有兩種基本思路：

1、先證明圖形是一個(gè)矩形在證明圖形是一個(gè)菱形

2、先證明圖形是一個(gè)菱形再證明圖形是一個(gè)矩形。

注意：要證明圖形是正方形，就需要同學(xué)們把矩形、菱形以及平行四邊形的性質(zhì)、判定掌握的非常熟練才能順利解決正方形的證明問(wèn)題。

二、實(shí)戰演練

（一）先證明圖形是矩形再證明圖形是菱形

【分析】（1）根據平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AFE＝∠BDE，根據全等三角形的性質(zhì)得到AF＝BD，可證明四邊形為平行四邊形。

（2）首先證明四邊形ACDF是矩形，再證明CA＝CD，由先證明矩形在證明菱形的方法證明圖形是正方形。

【反思與小結】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，三角形中位線(xiàn)定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

【分析】首先用三個(gè)角是直角的四邊形為矩形來(lái)證明四邊形ABFE是矩形，再證明AB＝AE，用先證明矩形在證明菱形的辦法證明為正方形。

【反思與小結】本題考查正方形的判定、矩形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

（二）先證明圖形是菱形再證明圖形是矩形

【分析】（1）根據對角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形．由題意易得△AOE≌△COE，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和菱形的判定證明即可；

（2）根據有一個(gè)角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠ADO＝∠DAE+∠DEA＝15°+30°＝45°，進(jìn)而根據菱形和正方形的判定證明即可．

【反思與小結】此題主要考查菱形和正方形的判定，要靈活應用判定定理及等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)定理．在證明角的問(wèn)題的時(shí)候，利用外交解決問(wèn)題有時(shí)候帶來(lái)很大的方便。

【分析】（1）根據全等三角形的判定得出△ADE≌△ABE，根據全等三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠AEB，∠DAC＝∠BAC，根據全等三角形的判定得出△ADC≌△ABC，根據全等三角形的性質(zhì)得出DC＝BC，即可求出AB＝BC＝CD＝AD，根據菱形的判定得出即可；

（2）根據勾股定理的逆定理求出∠DEC＝90°，求出∠DCE＝∠EDC＝45°，求出∠DCB＝90°，根據正方形的判定得出即可

?【反思與小結】本題考查了正方形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)，先證明圖形是一個(gè)菱形再證明圖形為矩形，進(jìn)而證明結論。

（三）有關(guān)正方形的開(kāi)放性問(wèn)題

【分析】（1）根據兩直線(xiàn)平行，內錯角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用角角邊證明△AEF和△DEC全等，再根據全等三角形的性質(zhì)和等量關(guān)系即可求解；

（2）由（1）知AF平行等于BD，易證四邊形AFBD是平行四邊形，而AB＝AC，AD是中線(xiàn)，利用等腰三角形三線(xiàn)合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB＝90°，于是得到結論．

【反思與小結】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．

【分析】（1）根據全等三角形的角邊角定理判定解答即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)和菱形的判定以及面積解答即可；（3）根據正方形的判定和性質(zhì)去思考問(wèn)題，得到所需的條件。

?【反思與小結】：在解決第3小問(wèn)時(shí)，應從要滿(mǎn)足的結論入手，即從四邊形是正方形入手考慮，這是本題的關(guān)鍵所在。這種思路既考察正方形的性質(zhì)又考察正方形的判定方法。

【分析】（Ⅰ）連接CD，利用同角的余角相等，得到∠DCA＝∠CDE，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)得結論；

（Ⅱ）（i）先證明四邊形BECD是平行四邊形，再利用直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半說(shuō)明鄰邊相等，證明該四邊形是菱形；

（ii）由菱形、正方形、平行四邊形的性質(zhì)可得結論．

【反思與小結】本題考查了平行四邊形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定及直角三角形的性質(zhì)．學(xué)會(huì )推理和分析是解決本題的關(guān)鍵．這個(gè)問(wèn)題的思考方式與例6 極為相似。

三、積累小結

正方形的判定方法雖然只是兩種，但是是矩形的判定和菱形判定方法中的組合，這就是的組合方式多種多樣，非常具有靈活性。所以，要想學(xué)好正方形，矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)和判定是基礎，只有把基礎掌握牢固了，才能靈活的解決正方形的問(wèn)題。

另外，條件開(kāi)放性問(wèn)題是幾何中?？碱}型，它將圖形的性質(zhì)與判定結合在一起考察學(xué)生的分析能力和解決問(wèn)題的能力，這類(lèi)問(wèn)題也是中考的熱門(mén)題型。