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前言

看到這個(gè)標題，大家是不是覺(jué)得很奇怪呢？無(wú)窮大就是無(wú)窮大，怎么無(wú)窮大還能分個(gè)三六九等？

然而數學(xué)有的時(shí)候不一定跟著(zhù)直覺(jué)走。很多時(shí)候，經(jīng)過(guò)嚴格的推理和論證，我們可以得出很多反直覺(jué)，但確實(shí)正確的結論。

在數學(xué)上，關(guān)于無(wú)窮大的討論，人們曾經(jīng)經(jīng)歷了很多的爭論，甚至還把相關(guān)理論的發(fā)明人，數學(xué)家康托爾，逼到精神失常。所幸，現在這個(gè)爭論終于塵埃落定，現代數學(xué)關(guān)于無(wú)窮大已經(jīng)有了一套比較完備的理論。姑且寫(xiě)出來(lái)，分享之。

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神奇的希爾伯特旅館

希爾伯特旅館是數學(xué)上一個(gè)著(zhù)名的思想實(shí)驗，也是關(guān)于無(wú)窮大的理論的基石?；蛟S不少看到這篇文章的小伙伴之前都聽(tīng)過(guò)。不過(guò)我這里，還是覺(jué)得以這個(gè)引入是最好的，所以這里就再寫(xiě)一遍咯。沒(méi)接觸過(guò)的小伙伴正好來(lái)看一下~

設想有一個(gè)無(wú)限大的旅館，里面有標號1,2,3...的無(wú)窮多個(gè)房間?，F在，所有的客房都有客人了?？疾煜铝星榫埃?/p>

某天，張三帶著(zhù)他朋友們組成了一個(gè)10人旅行團來(lái)這里旅游，想要住這個(gè)旅館，請問(wèn)能不能給他們安排房間？

第二天，張三雇了一輛無(wú)窮巴士，帶來(lái)了標號1,2,3...的無(wú)窮多個(gè)朋友來(lái)這里旅游。請問(wèn)，能不能把他們都安排上房間？

第三天，張三找了一個(gè)無(wú)窮旅行社，從里面雇了編號1,2,3...的無(wú)窮多個(gè)巴士，每一個(gè)巴士上都有標號1,2,3...的無(wú)窮多個(gè)客人。請問(wèn)，能不能把他們都安排上房間？

第四天，張三找了一輛超級無(wú)窮巴士，上面的客人不用1,2,3...編號，而是每人身上都貼著(zhù)一個(gè)標簽，標簽上寫(xiě)著(zhù)只包含"x"和"y"這兩個(gè)字母的無(wú)限長(cháng)的字符串。假設每個(gè)人身上的標簽組合起來(lái)，可以包含所有由"x"和"y"這兩個(gè)字母的無(wú)限長(cháng)的字符串組成的字符，并且不同人對應的字符各不相同。請問(wèn)，此時(shí)還能給這些人安排房間嗎？

正確答案是：前三天都可以，第四天這個(gè)旅館就歇菜了。

第一天，只要讓編號的房間里的客人移動(dòng)到第號房間去住，前10個(gè)房間就騰出來(lái)了。

第二天，把所有正整數分成奇偶兩組，讓編號為的房間里的客人移動(dòng)到號房間去住，然后讓第個(gè)客人住第號客房即可。

第三天，還是先讓編號為的房間里的客人移動(dòng)到號房間去住，把1,3,5,7,9...號客房騰出來(lái)。我們把第個(gè)巴士上的第個(gè)客人記作。那么，讓?zhuān)矗┳〉?號客房，讓?zhuān)矗┳〉?,5號客房，讓?zhuān)矗┳〉?,9,11號客房，讓?zhuān)矗┳〉?3,15,17,19號客房……如此繼續下去，按照的值從小到大的順序一組一組安排，總能把所有客人安排進(jìn)去。

然而到了第四天，事情就不對勁了。假設我們把所有的客人都安排進(jìn)去了?，F在，考察這么一個(gè)客人，對于任意正整數，他身上對應的字符串的第位和第名已經(jīng)入住酒店的客人的第個(gè)字符不相同（也就是如果入住的客人的那一位是x，他就取y，反之亦然）。這樣一來(lái)，這個(gè)客人的字符就和每一名已經(jīng)入住的客人的。從而，這個(gè)客人沒(méi)有入住，這和我們的假設所有客人都安排進(jìn)去了矛盾。借助反證法的思想我們知道，這個(gè)旅館第四天必須掛出今日滿(mǎn)員的牌子。

下面的圖可以幫助大家理解第4天發(fā)生的事情：

無(wú)窮大到底怎么比大??？

一一對應原則

從上面的例子可以看到，無(wú)窮大之間比大小，就不像有限量比大小一樣，我比你多我就比你大，而是要借助其他的原則。

這個(gè)原則是什么呢？

我們還是從有限量的比較獲得靈感。假設一個(gè)劇場(chǎng)有1000個(gè)座位，你一上臺發(fā)現臺下既沒(méi)有沒(méi)人坐的空位，也沒(méi)有人坐在臺階上這種不該坐的地方，并且每個(gè)座位上都只有1個(gè)人，沒(méi)有家長(cháng)抱著(zhù)小孩坐這種情況。請問(wèn)：臺下有多少觀(guān)眾？

大家一定可以立刻回答出來(lái)：1000個(gè)。那么，為什么可以立刻回答呢？

顯然，在這個(gè)場(chǎng)景下，觀(guān)眾和座位形成了一一對應，因此它們的數量也一定是一樣多。

在數學(xué)里，無(wú)窮大的比較遵循的是一樣的標準：一一對應。如果兩個(gè)無(wú)窮集合里面的元素可以形成一一對應，那么這兩個(gè)集合的元素個(gè)數就是一樣多。如果無(wú)窮集合A可以和無(wú)窮集合B的一個(gè)子集的元素一一對應，但集合A卻無(wú)法和集合B中的所有元素進(jìn)行一一對應，那么就說(shuō)集合B的元素比集合A多。

一個(gè)重要的定理

現實(shí)情況下，一一對應的規則往往不好構建，很多時(shí)候我們都只能構建一個(gè)集合到另一個(gè)集合的子集的對應規則。那么，設有兩個(gè)無(wú)窮集合，如果我們構建了法則可以把一一對應到，又構建了法則可以把一一對應到，那么，A和B之間是否存在一一對應呢？

答案是：一定存在。我們甚至可以直接把這個(gè)規則寫(xiě)出來(lái)：

為方便起見(jiàn)，我們現在把和分別寫(xiě)作和。設。根據定義，，。我們再對和使用法則，設，。由于，而是一一對應法則，根據和可知：。同理，。而這兩條，就可以看做和之間的一一對應法則。

現在，重復上述操作，定義，再定義，。同理可得，，。而這兩條，就可以看做和之間的一一對應法則。

如此繼續下去，我們可以得到和之間，和之間。。。的對應法則。而我們的集合構建規則是和，。從和，借助和為一一對應這一特點(diǎn)，用數學(xué)歸納法容易證明：和。從而，將我們構建的對應規則綜合起來(lái)，就形成了（即）到（即）的一一對應規則。

如果上面的表述太數學(xué)化，下面的草圖可以幫大家理解：圖中，相同紅色數字標出的小段之間具有一一對應關(guān)系，對應法則我已經(jīng)在后面用字母標出。

可見(jiàn)，如果我們可以構建兩個(gè)法則，分別把兩個(gè)無(wú)窮集合對應到對方的一個(gè)子集，我們也可以說(shuō)這兩個(gè)集合的元素個(gè)數一樣多。

無(wú)限集的勢

對于有限集，元素的個(gè)數可以用一個(gè)正整數來(lái)表示，而對于無(wú)限集，這顯然不行。而我們從希爾伯特旅館中可以看到，無(wú)限似乎又是可以比較大小的。所以，對于無(wú)限極的數量，我們必須給它一個(gè)名字。這個(gè)名字就叫做無(wú)限極的勢。數學(xué)上，常用符號（讀作阿列夫數，Aleph數）表示。

根據一一對應規則，如果某兩個(gè)集合的元素一樣多，就說(shuō)它們的勢相等，或它們等勢，即。如果A比B元素多，就說(shuō)A的勢比B大，即aleph(B)" data-formula-type="inline-equation" style=""