常數e的計算

常數e在數學(xué)界的地位，排第二總可以吧，第一理所當然讓給π我覺(jué)得沒(méi)問(wèn)題。

這個(gè)e之所以這么牛，是因為在數學(xué)上，只有一個(gè)函數ex，無(wú)論怎么求導都不會(huì )變化。高一的學(xué)生第一次接觸e是用在自然對數，使用頻率還不高；高二同學(xué)學(xué)習了導數（高等數學(xué)入門(mén)），e就無(wú)數次進(jìn)入我們的夢(mèng)鄉（有人是美夢(mèng)有人是噩夢(mèng)了啦）；如果您有幸在大學(xué)中深造，即便是文科生，這個(gè)常數也是時(shí)常登門(mén)造訪(fǎng)。

那么，e到底是多少呢？對于這個(gè)問(wèn)題，可以分成三類(lèi)解答。

第一類(lèi)解答，e=2.7。為什么？不知道，書(shū)上這么說(shuō)的。其實(shí)這樣的了解對于考試，那是足足夠用了。多數人在離開(kāi)數學(xué)后半年，就忘了這個(gè)數，不過(guò)說(shuō)起來(lái)曾經(jīng)在一個(gè)戰壕里蹲過(guò)也還是熟悉的面孔。

第二類(lèi)解答，利用

計算，這是常數e的定義。

根據這個(gè)定義，我們可以用

來(lái)計算，顯然，x越大計算結果越精確。我們列出部分運算如下

x

e

1

2

2

2.25

3

2.37037037

10

2.59374246

50

2.691588029

100

2.704813829

150

2.709275911

200

2.711517123

250

2.712865123

300

2.713765158

350

2.714408711

400

2.714891744

450

2.715267655

500

2.715568521

1000

2.716923932

2000

2.717602569

3000

2.71782892

從上面的運算看出，e的計算實(shí)際上是個(gè)遞增過(guò)程，當運算達到x=450時(shí)，運算結果只能保證兩位小數準確而已，當x=3000時(shí)，還是只有兩位小數準確。這個(gè)方法求出的e只能說(shuō)理論上正確，但效率很低。

第三類(lèi)解答，我們試圖研究，能不能用我們已經(jīng)會(huì )的運算來(lái)替代。我們已經(jīng)會(huì )的運算是什么呢？多項式。怎么用多項式來(lái)計算e呢。我們設函數

我們可以得到

如此我們得到了計算e的另一個(gè)公式！用這個(gè)公式計算試一試

n

n!

e

0

1

1

1

1

2

2

2

2.5

3

6

2.666666667

4

24

2.708333333

5

120

2.716666667

6

720

2.718055556

7

5040

2.718253968

8

40320

2.71827877

9

362880

2.718281526

10

3628800

2.718281801

11

39916800

2.718281826

12

479001600

2.718281828

方法三顯然強大好多，當n=5時(shí)就得到兩位準確數，當n=9時(shí)就能得到四位的準確數。會(huì )編程的同學(xué)可以很快就得到3000位準確數。

題外話(huà)：寫(xiě)一篇文章來(lái)介紹一個(gè)常數e的計算其實(shí)沒(méi)有太大的實(shí)際意義，因為我們在實(shí)際估算時(shí)，有e的三位小數就足足夠了。那么方法三的價(jià)值在哪里？

我們發(fā)現，我們計算e的過(guò)程可以得到一個(gè)很好玩的結論。

這個(gè)式子太好用了，我們可以用一個(gè)多項式來(lái)替代一些無(wú)法計算的函數啦呀！如果你能理解這個(gè)結論，恭喜你，大學(xué)階段的高等數學(xué)你注定不會(huì )掛科了哦。