【導讀：當今人類(lèi)即將或者已然了進(jìn)入智能時(shí)代，這是·情報通·人工智能科普系列第[12]篇文章，歡迎閱讀和收藏】

1 基本概念

微分在 數學(xué) 中的定義：由函數 B=f(A) ，得到 A 、 B 兩個(gè)數集，在 A 中當 dx 靠近自己時(shí)， 函數 在 dx 處的極限叫作函數在 dx 處的微分，微分的中心思想是 無(wú)窮 分割。微分是函數改變量的線(xiàn)性主要部分。微積分的基本概念之一。

2 術(shù)語(yǔ)和詳細說(shuō)明

2.1一元型

df(x)

2.1.1定義

設函數 y = f(x) 在 x 的 鄰域 內有定義， x 及 x Δx 在此 區間 內。如果函數的增量 Δy = f(x Δx) - f(x) 可表示為 Δy = AΔx o(Δx) （其中 A 是不依賴(lài)于 Δx 的 常數 ），而 o(Δx) 是比 Δx 高階的 無(wú)窮小 （注： o 讀作奧密克戎，希臘字母）那么稱(chēng)函數 f(x) 在點(diǎn) x 是 可微 的，且 AΔx 稱(chēng)作函數在點(diǎn) x 相應于 因變量 增量 Δy 的微分，記作 dy ，即 dy = AΔx 。函數的微分是函數增量的主要部分，且是 Δx 的 線(xiàn)性函數 ，故說(shuō)函數的微分是函數增量的 線(xiàn)性主部 （△ x→0 ）。

通常把自變量 x 的增量 Δx 稱(chēng)為自變量的微分，記作 dx ，即 dx = Δx 。于是函數 y = f(x) 的微分又可記作 dy = f(x)dx 。函數 因變量 的微分與自變量的微分之商等于該函數的 導數 。因此，導數也叫做 微商 。

當自變量 X 改變?yōu)?X △ X 時(shí)，相應地函數值由 f(X) 改變?yōu)?f(X △ X) ，如果存在一個(gè)與△ X 無(wú)關(guān)的常數 A ，使 f(X △ X)-f(X) 和 A· △ X 之差是△ X→0 關(guān)于△ X 的高階無(wú)窮小量，則稱(chēng) A· △ X 是 f(X) 在 X 的微分，記為 dy ，并稱(chēng) f(X) 在 X 可微。一元 微積分 中，可微 可導 等價(jià)。記 A· △ X=dy ，則 dy=f′(X)dX 。例如： d(sinX)=cosXdX 。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線(xiàn)去近似替代曲線(xiàn)，它的直接應用就是函數的 線(xiàn)性化 。微分具有雙重意義：它表示一個(gè)微小的量，因此就可以把線(xiàn)性函數的數值計算結果作為本來(lái)函數的數值近似值，這就是運用微分方法進(jìn)行近似計算的基本思想。

2.1.2推導

設函數 y = f(x) 在某區間內有定義， x0 及 x0 △ x 在這區間內，若函數的增量 Δy = f(x0 Δx) ? f(x0) 可表示為 Δy = AΔx o(Δx) ，其中 A 是不依賴(lài)于△ x 的常數， o(Δx) 是△ x 的高階無(wú)窮小，則稱(chēng)函數 y = f(x) 在點(diǎn) x0 是可微的。 AΔx 叫做函數在點(diǎn) x0 相應于自變量增量△ x 的微分，記作 dy ，即： dy=AΔx 。微分 dy 是自變量改變量△ x 的線(xiàn)性函數， dy 與△ y 的差是關(guān)于△ x 的 高階無(wú)窮小 量，我們把 dy 稱(chēng)作△ y 的 線(xiàn)性主部 。得出： 當△ x→0 時(shí)，△ y≈dy 。 導數的記號為： (dy)/(dx)=f′(X) ，我們可以發(fā)現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個(gè)微分的 比值 （把△ x 看成 dx ，即：定義自變量的增量等于自變量的微分），還可表示為 dy=f′(X)dX 。

3 微分應用

法線(xiàn)

我們知道，曲線(xiàn)上一點(diǎn)的 法線(xiàn) 和那一點(diǎn)的切線(xiàn)互相垂直，微分可以求出切線(xiàn)的斜率，自然也可以求出法線(xiàn)的斜率。

假設函數 y=f(x) 的圖象為曲線(xiàn)，且曲線(xiàn)上有一點(diǎn) (x1,y1) ，那么根據切線(xiàn)斜率的求法，就可以得出該點(diǎn)切線(xiàn)的斜率 m ：

m=dy/dx 在 (x1,y1) 的值

所以該切線(xiàn)的方程式為：

y-y1=m(x-x1)

由于法線(xiàn)與切線(xiàn)互相垂直，法線(xiàn)的斜率為 -1/m 且它的方程式為：

y-y1=(-1/m)(x-x1)

增函數與減函數

微分是一個(gè)鑒別函數（在指定定義域內）為 增函數 或 減函數 的有效方法。

鑒別方法： dy/dx 與 0 進(jìn)行比較， dy/dx 大于 0 時(shí)，說(shuō)明 dx 增加為正值時(shí)， dy 增加為正值，所以函數為增函數； dy/dx 小于 0 時(shí)，說(shuō)明 dx 增加為正值時(shí)， dy 增加為負值，所以函數為減函數。

例 1 ：分析函數 y=x^2-1 的增減性

∵ y=x^2-1

∴ dy/dx=2x

當 x